Тема 3 Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса)

Способ Гаусса является более универсальным и подходящ для систем с хоть каким числом уравнений. Он заключается в поочередном исключении неведомых из уравнений системы.

Разглядим способ Гаусса на примере системы из трёх уравнений с 3-мя неведомыми:

1-ое уравнение оставим без конфигурации, а из второго и третьего исключим слагаемые, содержащие . Для этого 2-ое Тема 3 Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса) уравнение разделим на и умножим на , а потом сложим с первым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на и умножим на и сложим с первым. В итоге начальная система воспримет вид:

Сейчас из последнего уравнения просто отыскать , потом из второго уравнения . Для этого третье уравнение разделим на , умножим Тема 3 Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса) на и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:

Отсюда просто отыскать , потом из второго уравнения , и из первого . Заместо того чтоб писать систему уравнений выписывают расширенную матрицу системы, которая состоит из коэффициентов этой системы и свободных членов. Приводим ее к ступенчатому виду.

Матрица имеет ступенчатый вид, если

· все Тема 3 Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса) ненулевые строчки (имеющие по последней мере один ненулевой элемент) размещаются над всеми чисто нулевыми строчками;

· ведущий элемент (1-ый ненулевой элемент строчки при отсчёте слева вправо) каждой ненулевой строчки размещается строго правее ведущего элемента в строке, расположенной выше данной.

Цель простых преобразований– привести матрицу к ступенчатому (треугольному) виду.

Простыми преобразованиями матрицы именуются последующие Тема 3 Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса) ее преобразования:

I Перестановка 2-ух строк матрицы.

II Умножение всех частей одной строчки матрицы на одно и то же число, хорошее от нуля.

III Прибавление к элементам одной строчки соответственных частей другой строчки, умноженных на одно и то же число.

IV Вычеркивание нулевой строчки.

Пример:

Решить способом Гаусса систему Тема 3 Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса) уравнений:

Запишем расширенную матрицу системы:

Поменяем местами первую и третью строчки

Мы получили единицу в верхнем углу. Сейчас необходимо получить нули в первом столбце 2-ой и 3-ей строчки. Для этого ко 2-ой строке прибавим первую строчку, умноженную на -2:

К третьей строке прибавим первую, умноженную на 3:

Вторую строчку умножим Тема 3 Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса) на -1/5, а третью строчку на -1/2

К третьей строке прибавим вторую строчку, умноженную на -2

Из последней строки находим, что .

Из 2-ой строчки находим y:

И из первой строчки найдем x:

Таким макаром, мы отыскали решение системы:

Решить способом Гаусса последующие системы уравнений:

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11

12 13 14

15 16

17 18

19 20


Шатных Олеся Николаевна

АЛГЕБРА

(ЧАСТЬ 1)

Материалы для практических занятий

и самостоятельной работы

для студентов Тема 3 Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса) факультета М и ИТ

Редактор

____________________________________________________________________

Подписано к печати Формат бумаги 60 84 1/16 Бумага тип № 1

Печать цифровая Усл. печ.л. 2,25 Уч.-изд.л.

Заказ Тираж 30 Не для реализации

____________________________________________________________________

РИЦ Курганского муниципального института.

640669, г. Курган, ул. Гоголя, 25.

Курганский муниципальный институт.


tema-3-formi-istochniki-prava-4-ch4sa.html
tema-3-frukti-i-orehoplodnie.html
tema-3-geografiya-turisticheskih-centrov-mira.html